INTRODUZIONE
Si dice quadripolo una rete elettrica complessa nella quale si individuano una coppia di terminali di ingresso e una coppia di terminali in uscita. Se un terminale di ingresso è comune a quello di uscita, il quadripolo assume il nome di tripolo.
si possono considerare due categorie di quadripoli, quelli passivi e quelli attivi: i primi si possono immaginare realizzati solo con componenti R-L-C, i secondi sono quelli che contengono componenti attivi che svolgono la funzione di amplificazione; in altr termini i quadripoli passivi forniscono in uscita sempre una potenza minore di quella in ingresso, quelli attivi possono anche fornire una potenza di uscita maggiore di quella in ingresso.
LA FUNZIONE DI TRASFERMENTO
Si consideri un quadripolo a regime sinusoidale; si definisce FUNZIONE DI TRASFERIMENTO, e la si indica come la G(jω) il rapporto tra la tensione di uscita e la tensione d’ingresso del quadripolo:
G(jω)= Vo(jω)/Vi (jω)
La funzione di trasferimento permette di descrivere il comportamento a regime sinusoidale del quadripolo.
Dalla definizione di funzione di trasferimento, discende la possibilità di esprimere la risposta in frequenza del quadripolo: Vo(jω)= G(jω)*Vi(jω)
La funzione G(jω) è più propriamente detta FUNZIONE DI RISPOSTA ARMONICA; normalmente la funzione di trasferimento è la G(S), formalmente ottenuta sostituendo alla quantità immaginaria jω la variabile S:
la funzione di trasferimento fa quindi riferimento alla trasformata di LA PLACE.
La trasformata di La Place è un operatore matematico che permette di trasformare equazioni integro-differenziali in equazioni algebriche: ciò è ottenuto tramite il passaggio dal dominio del tempo t al dominio della variabile complessa s.
La funzione di trasferimento G(s) viene in genere espressa come rapporto tra polinomi: G(s)=
Le radici del polinomio a denominatore, ovvero i valori di s che lo annullano, prendono il nome di poli delle funzione di trasferimento. Le radici del polinomio a numeratore, prendono il nome di zeri della funzione di trasferimento.
I poli e gli zeri possono essere reali o complessi; in tal caso son sempre a coppia con il complesso coniugato.
La funzione di trasferimento può anche essere scritta nella forma seguente: G(s)
In questa formula, k è il fattore di guadagno, mentre, le Zi e Pi sono, rispettivamente, gli zeri e i poli non nulli della funzione di trasferimento. L’intero g, dato dalla differenza tra il n° dei poli nulli e quello degli zeri nulli, rappresenta il sistema.
Se in ingresso a un circuito lineare tempo invariante quadripolare, la funzione di trasferimento G(s), si applica un segnale sinusoidale di pulsazione ωo, il circuito presenta in uscita, a regime, un segnale ancora sinusoidale, avente:
Il teorema della risposta in frequenza permette di trarre un’indicazione nella funzione di trasferimento di un sistema fisicamente realizzabile deve sempre risultare m<=n, ovvero il n° degli zeri della funzione di trasferimento, non può essere superiore al n°degli zeri.
IL FILTRO RC PASSA-BASSO
Si tratta di un circuito capace di attenuare in modo sempre più netto, al crescerete delle frequenza, tutte le armoniche del segnale di ingresso che operano oltre la frequenza di taglio ft:
ft= 1/2ΠRC ωt=1/RC
e di attenuare in modo trascurabile le armoniche che si trovano al di sotto della frequenza di taglio.
IL FILTRO RC PASSA-ALTO
I DIAGRAMMI DI BODE
I diagrammi di Bode permettono, quindi, di ottenere la risposta in frequenza di un sistema separando l’andamento dell’ampiezza dall’andamento della fase. Si ricordi che la fase in oggetto è lo sfasamento che esiste fra la tensione d’uscita e quella d’ingresso: quando tale sfasamento è 0, i due segnali sono in fase, cioè presentono massimi e minimi nello stesso istante. Lo sfasamento implica un ritardo del segnale d’uscita rispetto al segnale d’ingresso, ritardo pari a γ/ω, ove γ è l’argomento della funzione di risposta armonica, in corrispondenza di ω.
Per facilitare lo studio su un elevato spettro di pulsazioni sia il diagramma del modulo sia il diagramma della fase vengono rappresentati su carta logaritmica o semilogaritmica divisa in decadi. La carta semilogaritmica è caratterizzata dal fatto che la distanza che separa due valori ωa e ωb è proporzionale alla differenza tra i logaritmi (solitamente in base 10) di ωa e ωb. Fatte queste premesse una possibile rappresentazione dei valori della pulsazione sulla carta semilogaritmica potrebbe essere
Nel diagramma del modulo si rappresenta sulla carta
semilogaritmica la pulsazione sull'asse delle ascisse mentre su quello delle
ordinate il modulo espresso in decibel cioè il modulo espresso secondo la
formula 
Nel diagramma della fase si rappresentano le ampiezze assunte dall'argomento F per diversi valori di ω. Anche in questo caso è utile servirsi della carta semilogaritmica indicando sull'asse delle ascisse le pulsazioni e sull'asse delle ordinate le ampiezze, solitamente espresse in gradi sessadecimali (DEG).
Il DIAGRAMMA DEL MODULO ha, sull’asse delle ordinate, il modulo della G (j w) espresso in decibel e, sull’asse delle ascisse, il logaritmo in base 10 della pulsazione w.
Il DIAGRAMMA DELLA FASE riporta il valore della fase di G ( j w ) in funzione sempre del logaritmo di w.
Il valore del modulo della “risposta in frequenza” diventa:
| G ( j w ) | d b = 20 log 10 | G ( j w ) |
I grafici in scala logaritmica, rispetto alla scala lineare, hanno i seguenti vantaggi:
· capacità di rappresentare un campo molto esteso di valore di w;
· rappresentazione di una funzione data in forma fattorizzata come somma di diagrammi corrispondenti ad ogni singolo fattore.
Si supponga di voler rappresentare mediante i diagrammi di Bode la seguente funzione:
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Che esprime la risposta in frequenza del sistema nella cosiddetta “forma di Bode”.
Applicando il logaritmo ad entrambi i membri si ricava:
log10 | G ( j w ) | = log10 | k | + log10 | 1+ jwtz | + log10 | 1 / (1+ jwtp ) |
Per ottenere il diagramma di Bode, è sufficiente tracciare i diagrammi dei termini costituenti la risposta, quindi sommare tutti i contributi.
DIAGRAMMI ELEMENTARI DI BODE
I diagrammi di Bode vengono ricavati tramite composizione dei contributi forniti da ciascun fattore che costituisce la funzione di trasferimento; viene sempre tracciato prima il diagramma asintotico, corretto poi in corrispondenza della frequenza associata a poli e zeri, in corrispondenza delle quali c’è l’abbassamento di 3dB. Si fa riferimento ad una generica funzione di trasferimento, scritta nella forma che segue: G(s)=μ(1+s)
COSTANTE: G ( j w ) = K
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[w = w ]
ZERO NELL'ORIGINE : G ( j w ) = j w
Il modulo | G ( j w ) | dB = 20 lg 10 w rappresenta una retta avente pendenza
20 dB / decade e passante per l'origine degli assi; la fase b = acrtg ( w / 0 ) = 90°
[w = w ]
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POLO NELL'ORIGINE: G ( j w ) = 1 / j w
Il modulo | G ( j w ) | dB = - 20 lg 10 w rappresenta una retta avente pendenza
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[w = w ]
ZERO REALE: G ( j w ) = 1 + j w t Z
Si esegue il modulo e lo si esprime in decibel | G ( j w ) | dB = 20 lg 10 | 1+ j w t | . Per comodità si preferisce una rappresentazione approssimata ( per asintoti ) della funzione ottenuta:
· per w t z << 1 si ha | G ( j w ) | dB = 0 dB
· per w t z >> 1 si ha | G ( j w ) | dB = 20 lg w + 20 lg t z
Il diagramma del modulo è approssimato: le due rette che lo compongono sono gli asintoti ai quali tende la funzione effettiva per valori di w sufficientemente lontani dalla pulsazione relativa allo zero. Infatti, in tale punto, si ha lo scostamento massimo del diagramma reale da quello approssimato; la funzione reale, per la pulsazione w = 1 / t z , detta pulsazione di taglio, assume il valore di 3 dB. L'errore diminuisce all'allontanarsi dalla pulsazione di taglio e, a distanza di una decade, si può ritenere trascurabile.
Per la fase b = arctg ( w t z / 1 ) si determina la rappresentazione grafica approssimata:
· per w t z << 1 ossia w << 1 / t z si ha b = 0° [ w = w ]
· per w t z >> 1 ossia w >> 1 / t z si ha b = 90° [ t z = T z ]
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POLO REALE : G ( j w ) = 1 / ( 1 + j w t p )
Il modulo: | G ( j w ) | dB = - 20 lg 10 | 1 + j w t p |
Anche in questo caso per comodità si fa una rappresentazione approssimata della funzione:
· per w t p << 1 si ha | G ( j w ) | dB = 0 dB
· per w t p >> 1 si ha | G ( j w ) | dB = - 20 lg w - 20 lg t p
Le semirette del diagramma del modulo sono gli asintoti ai quali tende la funzione per valori di w sufficientemente lontani dalla pulsazione del polo. Alla pulsazione di taglio w = 1 / t p , la funzione reale assume il valore di - 3 dB; l'errore diminuisce allontanandosi dalla pulsazione di taglio e, a distanza di una decade, si può ritenere trascurabile.
Per la fase b = - arctg ( w t p / 1 ) si determina la rappresentazione grafica approssimata:
· per w t p << 1 ossia w << 1 / t p si ha b = 0° [w = w ]
· per w t p >> 1 ossia w >> 1 / t p si ha b = - 90° [t p =T p ]
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