Integrali indefiniti
1. Definizione di integrale indefinito.
Data una funzione y = f(x) definita e continua nell'intervallo [a, b], si dice integrale definito della funzione f(x) l'insieme di tutte le primitive di f(x) e si denota con il simbolo:
ò f(x)dx = F(x) + c
ove F(x) è una qualsiasi primitiva di f(x), ossia una funzione tale che la sua derivata è proprio f(x), e c una costante reale. In pratica risulta:
F ' (x) = f(x) " x Î [a, b]
Ricordiamo che una funzione ammette infinite primitive e che tutte
differiscono tra loro per una costante.
Esempio L'integrale della funzione y = 2x è y = x2 + c, poiché la derivata di y = x2 + c è proprio 2x. Pertanto si scrive:
ò 2xdx = x2 + c
Integrali fondamentali
In base alla definizione di primitiva si può costruire la seguente tabella
degli integrali fondamentali
1) ®
Questa formula è giustificata dal fatto che la derivata di xn+1/ (n+1) è proprio xn .
Questa formula è giustificata dal fatto che la derivata di log x è proprio 1/x .
®
2. Principali regole d’integrazione.
1)
cioè una costante k che moltiplica una funzione f(x) sotto il simbolo di integrazione si può trasportare fuori dal simbolo d'integrazione.
2)
cioè l'integrale di una somma algebrica di due o più funzioni è uguale alla somma algebrica degli integrali delle singole funzioni.
Esempi ?
abbiamo applicato la regola (2), poi la regola (1) e quindi abbiamo utilizzato la tabella degli integrali fondamentali formula (1)
con .
Esempio Calcolare l’integrale: *)
Posto:
e differenziando primo e secondo membro si ha:
Sostituendo nell'integrale dato si ottiene:
= = = .
Ne consegue che:
= .
Integrazione per parti
Capita a volte che la funzione integranda si presenti come il prodotto di due funzioni, tali che nessuna di esse sia la derivata dell’altra, ma tali però che fra le due, almeno una sia “facilmente integrabile”. In questi casi può talvolta “funzionare” la cosiddetta regola di integrazione per parti.
La regola afferma dunque che
1)
L’integrale assegnato non è immediato. Assumendo f(x) = x e si ha:
quindi x2 -5 x +6 = (x-2)(x-3). Pertanto, è possibile determinare due costanti reali A e B tali che:
ossia:
e per il principio d’identità dei polinomi, ossia uguagliando i coefficienti del binomio 2x - 3 con i rispettivi coefficienti del binomio , si ricava:
che risolto dà: e . Pertanto, l’integrale dato si può calcolare nel seguente modo: